MATEMATİKÇİ OLMAN İÇİN HANGİ BECERİLERE SAHİP OLMAN GEREKİR ?

Matematikçiler için çalışma becerileri

    Bir matematikçi gibi düşünmek üzerinde düşünülecek bir matematik gerektirir. Dolayısıyla gerekli ön bilgilerinizi tamamlayarak bir altyapı oluşturmanız  yeterince anlayış kabiliyeti ve bir binayı sağlam temellere oturtmak için en önemli yapıtaşıdır Temel matematiği bilmeniz gerekir ki matematiksel nesnelerle oynayabilesiniz.

   Bir küme bir nesneler topluluğudur ve bir fonksiyon bir kümenin elemanlarının bir diğerinin elemanları ile eşleşmesidir. Yüksek düzeyden matematiğin hemen hemen tümü kümeler ve aralarındaki fonksiyonlar üzerinedir örneğin kalkülüs ya da analiz adıyla bilinen ders; gerçek sayılar kümesinden, gerçel sayılar kümesine türevlenebilir özellikli fonksiyonların çalışmasıdır. Aslında kümeleri ve fonksiyonları matematiğin yapı taşları olarak görebiliriz.

   Şimdi matematiksel altyapı için gerekli olan temel bilgilerle başlayalım.

    KÜMELER

Küme matematikte temel nesnedir matematikçiler bir küme ele alırlar ve onunla harika şeyler yaparlar. 

   Tanım: Bir küme iyi tanımlı bir nesneler topluluğudur kümedeki nesnelere kümenin elemanları ya da öğeleri denir.

   Alışıla geldiği üzere özel bir kümeyi küme ayraçları arasında elemanların bir listesini yaparak tanımlıyoruz.

  Eğer x,X kümesinin bir elemanı ise o zaman x∈X yazıyoruz. Bunu “x, X'in bir elemanıdır”( ya da öğesidir )ya da “x,X’dedir” olarak okuyoruz.Eğer x, X’in elemanı değilse o zaman x∉X yazıyoruz.

Örneğin 1,2, 3 ,4 ve 5 sayılarını içeren küme {1 ,2 ,3 ,4, 5} yazılır.3 sayısı kümenin bir elemanıdır yani 3∈{1, 2, 3, 4, 5}'tir ama 6∉ {1, 2, 3, 4,5}'tir.

Bazı ilginç sayı kümeleri 

Doğal sayılar:{1 ,2 ,3 ,4, 5,...} doğal sayıların kümesidir ve ℕ ile gösterilir. Noktalar sonsuza dek devam edebileceğimiz anlamına gelir.

Bazı matematikçiler sıfırı doğal sayıların içine katmayı severler, diğerleri ise doğal sayıları sayma sayıları olduğunu ve bir bilgisayar programcısı değilseniz sıfırdan başlayarak saymadığınızı söylerler  Öte yandan 0∈ℕ alırsak bazı teoremlerini ifadesi daha iyi olur. Bu tartışma şimdi tanımlayacağımız negatif olmayan tam sayılarla ya da pozitif tam sayılarla çalıştığımızı belirterek daha tatlıya bağlanabilir.

Tam sayılar

Tamsayıların kümesi {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...} dir ve  ℤ ile gösterilir. Bu kümeden tam sayılar kümesinin birer alt kümesi olarak pozitif ve negatif tam sayılar kümeleri tanımlanabilir.

Tüm doğal sayıların, tam sayılar olduğunu da unutmayalım.

Rasyonel sayılar 

Rasyonel sayıların kümesi ℚ ile gösterilir ve tüm kesirli sayılardan oluşur, yani p ve q tam sayılar ve q≠0 olmak üzere x, p/q  biçiminde yazılabiliyorsa x∈ℚ olur. Örneğin; 1/2, 6/1 ve 80/5 gibi. Burada temsilin tek olmadığına da dikkat edelim; çünkü örneğin 80/5=16/1'dir. Ayrıca x∈ ℤ,  x/1 gibi yazılabildiği için tüm tam sayıların rasyonel sayılar olduğunu unutmayalım.

Gerçel sayılar 

ℝ ile gösterilen gerçel sayıları katı ve net bir biçimde tanımlamak zordur.Şimdilik bu sayıları sonsuz uzunluk temsiller dahil,ondalık temsil verilebilen herhangi bir sayı ya da sonsuz uzunluklu bir sayı doğrusu üzerinde bir nokta gibi temsil edilen herhangi bir sayı olarak kabul edelim.

 Gerçel sayılar tüm rasyonel sayıları dolayısıyla tam sayıları ve doğal sayıları içerir.Ayrıca hiçbiri rasyonel sayı olmayan π ve e gerçel sayılardır. 

 Rasyonel olmayan gerçel sayılara irrasyonel sayılar denir.

Karmaşık sayılar 

     -1'in karekökünün var olduğunu iddia ederek ilerleyebiliriz ve ℂ ile gösterilen karmaşık sayıları tanıtabiliriz.Bu matematikçilerin alet çantasına koyduğu en güçlü destek araçlarından  biridir, çünkü karmaşık sayılar kuramsal ve uygulamalı matematikte kullanılabilmektedir.       i=√-1  olarak kabul edilmiştir, burada i  imajiner yani sanal bir sayıdır.

Kümeler üzerine:

Boş küme 

Matematikte elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve ∅ ile gösterilir. Bu size tanımlanması gerçekten tuhaf bir nesne gibi görünebilir,kümenin hiç elemanı olmadığına göre ne işe yarayabilir diye düşünebilirsiniz. Fakat bu kime bize sayma konusunda düşünceler oluşturmamızda yardım etmesi açısından şaşırtıcıdır ve matematiğin temelleri için vazgeçilmezdir. 

Tanım: elemanları aynı olan iki kümeye eş kümeler denir. Eğer A kümesi B kümesine eşitse o zaman A=B yazıyoruz, değilse A≠ B yazıyoruz.

Örneğin {1, 2 ,3} ve { 3, 2 ,1 }kümeleri eştir.Ancak {{1} ,2 } ve {1,2 } kümeleri eşit değildir.Ayrıca ℕ ve  ℝ kümeleri  eşit değildir.

Tanım: X kümesi sonlu sayıda elemana sahipse o zaman X'e sonlu küme denir.

Tanım: A’nın bir küme olduğunu varsayalım. B’ nin her elemanı A'nın da bir elemanı ise “B kümesi, A'nın bir alt kümesidir.” denir ve B⊆A yazılır.

Bu aynı zamanda x∈ B ise o zaman, x∈A demekle aynıdır.

Örneğin,herhangi bir X kümesi için X⊆ X ve ∅ ⊆ X ‘tir. Ayrıca çift sayıların kümesi ℕ 'nin bir alt kümesidir.

Kümelerin tanımlanması: Kümeleri farklı bir notasyon kullanarak tanımlayabiliriz.{x l x,P özelliğini sağlar.} 

| sembolü “ öyle ki “olarak okunur ve  bazen  | yerine : ile de gösterilir.

Örnek:

• {x | x ∈ ℕ ve x<5} kümesi {1,2,3,4} kümesine eşittir. Kümeyi “x öyle ki x,ℕ ‘ dedir ve x, 5'ten büyüktür diyerek” okuruz.

• {x | x ∈ ℤ ve 5 ≤ x ≤10 } kümesi 5'ten 10'a kadar olan tam sayıların kümesidir.Yani {5,6,7,8,9,10} kümesidir. 

 Kümeler üzerine işlemler

Matematikte bir nesnenin ,örneğin bir kümenin, sık sık tanımını yaparız ve sonra bunun üzerine işlemler yaparız, örneğin kümenin alt kümelerini alırız ve bu kümeden yeni kümeler ortaya çıkarmış oluruz. Bunu basitçe klasik iki yolla yapabiliriz: birleşim ve kesişim alarak. 

Tanım: X ve Y'nin iki küme olduğunu varsayalım.X ve Y'nin X∪Y ile gösterilen birleşimi X’deki  ya da Y’deki ya da her ikisindeki elemanlardan oluşan kümedir. Bu kümeyi 

       X∪Y = {x | x∈X ya da x∈Y}

olarak tanımlayabiliriz.

Örnekler: 

• {1,2,3,4} ve {2,4,6,8} kümelerinin birleşimi {1,2,3,4,6,8} dir.

• { x ∈ ℝ | x <5} ve { x ∈ ℤ | x <8} kümelerinin birleşimi { x ∈ ℝ | x <5 ya da x=6 ya da x=7 } dir.

Tanım: X ve Y'nin iki küme olduğunu varsayalım.X ve Y'nin X∩Y ile gösterilen kesişimi ya da arakesiti X’de ve Y’de olan elemanlardan oluşan kümedir. Bu kümeyi 

         X∩Y = {x | x∈X ve x∈Y}

olarak tanımlayabiliriz.

Örnekler: 

• {1, 2 ,3,4} ve {2, 4 ,6,8} kümelerinin arakesiti {2, 4} dür.

• {-1,-2,-3,-4} ve ℕ kümesinin arakesidi ∅’dir.

Tanım: X ve Y'nin X\Y veya X-Y ile gösterilen farkı X’ de olan ama Y'de olmayan elemanların kümesidir. Yani, X'in elemanlarını alıyoruz vee X'in Y'ye ait elemanlarını dışarıda bırakıyoruz. 

Kümelerin çarpımları:

Tanım: X ve Y iki küme olsun.X ve Y'nin X×Y ile gösterilen kartezyen çarpımı, x∈X ve y∈Y olmak üzere olası tüm (x,y) ikililerinin kümesidir, yani 

               X×Y={ (x,y) |  x∈X ve y∈Y}

kümesidir.

Örnekler:

• X={0,1} ve Y={1,2,3} olsun. O zaman X×Y ‘nin 2×3=6 elemanı vardır:

   X×Y={(0,1),(0,2),(0,3),(1,1),(1,2),(1,3)}

• ℝ xℝ=ℝ² ve (ℝ xℝ)xℝ=ℝ³ ile gösterilir.

Not: X×Y kartezyen çarpımı X'in ya da Y’ nin bir alt kümesi değildir.

Dönüşümler ve fonksiyonlar:

Kümeleri tanımladıktan sonra şimdi de kümelerin elemanlarını başka kümelerini elemanları ile ilişkilendirmek için bir tanım vereceğiz.

Tanım:X ve Y'nin iki küme olduğunu varsayalım. X'ten Y'ye bir fonksiyon ya da dönüşüm kümelerin elemanları arasındaki bir bağdır.Daha açık olarak X'in her elemanı için Y'nin bir tek elemanı vardır.

f,X’den Y’ye bir fonksiyon ise o zaman f :X→Y yazıyoruz ve x'e bağlanan yerdeki tek elemanı f(x) ile gösteriyoruz. Bu elema X'in f altındaki değeri (görüntüsü, resmi) ya da f’nin bir değeri denir.X kümesine f'in tanım kümesi ve Y'ye de değer kümesi denir.

Genellikle f fonksiyonunun belirtmek için her x için f(x)'i tanımlayan bir formül ya da bağıntı kullanırız ve bu bağıntının f ’ten bir kümenin elemanlarına ya da bir kümeye uygulandığından söz ederiz.

Burada X’in her elemanının Y'deki bir elemana karşılık gelmek zorunda olduğunu fakat tersinin gerekmediğine ve de X’ in iki farklı elemanının Y'deki bir aynı elemana uygulanabildiğine dikkat edelim.

Örnekler:

1. f :ℤ→ℤ, her x∈ℤ için f(x)=x² ile tanımlansın. Bu durumda ikisinin f altındaki değeri x'in karesidir.

2. f :ℝ→ ℝ, f(x)=0 ile verilsin.x girdisi ne olursa olsun f’ nin tek görüntüsü sıfırdır.

3. X üzerindeki birim dönüşüm, her x∈X için  id(x)=x ile verilen f :X→X dönüşümüdür.

4. f :ℝ→ ℝ, f(x)=x²+2x+3 ile verilen fonksiyonu tanımlanabilir. ℝ’nin her elemanın f nin bir değeri olmadığına yani örneğin  f(x)=-2 olacak şekilde hiçbir x elemanı bulunmadığına dikkat edin.Bunu, f(x)=x²+2x+3= -2 niye çözmeye çalışarak doğruluğunu kontrol edebileceğiniz bir şekilde görebilirsiniz. 

5. Çok daha genel olarak, bir polinomdan bazı a0 ,a1 ,.....,an gerçel sayıları ve bir x gerçel değişkeni için 

f(x)=anxn+an-1xn-1+.....+a1x+a0

tanımlayarak bir f : ℝ→ ℝ fonksiyonu tanımlayabiliriz.

Bununla birlikte bir formüle veya bağıntıya sahip olmak bir sonraki örnekte de gösterildiği gibi her zaman bir fonksiyon tanımlamaz.

Örnek: f(x)=1/(x-1) fonksiyonu x=1 de tanımlı olmadığından,ℝ den ℝ ye bir fonksiyon tanımlamaz. Bu fonksiyonu x≠1 ile kısıtlanarak tanımlarsak,yani 

     X={ x∈ℝ | x≠1}

tanımlayalım.O zaman  f(x)=1/(x-1) ile tanımlı f :X→ ℝ bir fonksiyondur.

Örnek: f :ℝ→ ℝ nin türevlenebilir,örneğin bir polinom, olduğunu varsayalım.O zaman f’ ile gösterilen türev bir fonksiyondur.