MATEMATİK VE MANTIK

Mantıksal Nasıl Düşünülür?

Matematik, bir bakıma matematiksel önermelerin doğru ya da yanlış olduğunu kanıtlama işidir.Bu aşamada derin bilmeceler ve paradokslar ya da bileşik önermeler ve benzeri teknik konulardan çok matematikçilerin günlük çalışmalarında kullandıkları mantık üzerine yoğunlaşacağız.

Önermeler

Tanım:Doğruluğu ya da yanlışlığı kesin olan ifadelere önerme denir. Yani bir önerme ya doğru ya da yanlış olan bir cümledir.

• ‘ 2+2=4 ‘ önermesi doğrudur.

• ‘Bütün kediler siyahtır.’ yanlış bir önermedir.

• ‘Sonsuz çoklukta asal sayı vardır.’ önermesi doğrudur. 

Bir Önermenin Değili (Olumsuzu)

Bir A önermesinin değili yani olumsuzu A doğruyken yanlış olan önermedir.Bir önerme doğru ise değili yanlış, yanlış ise değili doğrudur. p önermesinin değili p’  ile gösterilir.

• ‘Türkiye'nin başkenti İstanbul'dur.’ önermesinin değili ‘Türkiye'nin başkenti İstanbul değildir.’

• ‘364 sayısı tektir’ önermesinin değili ‘364 sayısı tek değildir.’

• ‘Üçgenin iç açıları toplamı 360 derecedir.’ önermesinin değili ‘Üçgenin iç açıları toplamı 360 derece değildir.’ 

Bir Önermenin Doğruluk Değeri

Bir önerme doğru ise doğruluk değeri "1" veya "D" ile, yanlış ise "0" veya "Y" ile gösterilir.Bir önermenin doğruluk değeri  ≡ işareti ile gösterilir.

Bir p önermesi doğru ise p≡ 1 şeklinde yazılır ve "p denktir 1'e" şeklinde okunur.

Bir p önermesi yanlış ise p≡ 0 şeklinde yazılır ve "p denktir 0'a" şeklinde okunur.

‘Ve’ ve ‘Ya Da’ Bağlaçları

İki önerme ‘ve’ bağlacı ile bağlanarak önermeler oluşturulabilir.” Ve” bağlacı simgesel olarak “ ∧ “ ile  gösterilir.

Önermeleri bağladıkları için bunlara bağlaçlar denir. 

Örneğin  ‘Türkiye'nin başkenti Ankara'dır ve Türkiye'nin en kalabalık şehri istanbul'dur.’ önermesini göz önünde bulunduralım. Türkiye'nin başkenti Ankara ve Türkiye'nin en kalabalık şehri İstanbul olması durumunda bu doğru bir önermedir. Türkiye'nin başkenti eğer Ankara değilse bu önerme yanlış bir önermedir. Aynı şekilde Türkiye'nin en kalabalık şehri İstanbul değilse bu önermeye yanlış önerme diyebiliriz.

• ‘5 asal bir sayıdır ve  en küçük asal sayı 2'dir’ önermesi doğru bir önermedir. 5 bir asal sayıdır ve en küçük asal sayı 2'dir. Fakat bu cümle ‘ 5 asal bir sayıdır ve en küçük asal sayı 3'tür’ olsaydı “en küçük asal sayı 3'tür” önermesi yanlış olduğundan bu önerme yanlıştır yorumunu yapardık.

Daha matematiksel bir ifade ile;

A ve B önermeleri ile oluşturulan bir önermenin doğruluk çizelgesi için 4 olabilirlik durumu vardır: her ikisi yanlış, A yanlış ve B doğru, A doğru ve B yanlış ve her ikisi doğru.

A: doğru; B:doğru ⇒Önerme: Doğru 

A: doğru; B: yanlış⇒Önerme: Yanlış 

A: yanlış; B: doğru ⇒Önerme: Yanlış

A: yanlış; B: yanlış ⇒Önerme: Yanlış

   Sonuç olarak; A ya da B’ nin sadece biri yanlış ise, o zaman A ve B önermesi yanlıştır. Ve bağlacında her iki önermenin de doğru olması gereklidir.

“Ya da” kullanılan önermeler 

“Ya da “ ve “Veya” bağlacı ile oluşturulan bileşik önermeler,önermelerin tümü yanlış olduğunda yanlış, bu önermelerin en az biri doğru olduğunda doğru olur.”veya” bağlacı simgesel olarak “ ⋁ “ ile  gösterilir.

Örneğin; “x bir doğal sayı olsun. O zaman x çifttir ya da x tektir.” ifadesi ‘ya da’ bağlacı ile kurulan bir önermedir.

Örnek: ”Bilgisayar bozuldu VEYA elektrikler kesildi.” önermesi, iki basit önermeden oluşan bir bileşik önermedir:

p: Bilgisayar bozuldu.

q: Elektrikler kesildi.

Bu önermeler, “veya” (ya da) bağlacıyla birleştirilmiştir ve matematiksel olarak şöyle gösterilir:

Bu bileşik önerme, aşağıdaki durumlarda doğru olur:

Bilgisayar bozulmuş olabilir (p doğru),

Elektrikler kesilmiş olabilir (q doğru),

Ya da her ikisi birden olmuş olabilir (p ve q doğru).

Ancak bilgisayar bozulmamışsa ve elektrikler de kesilmemişse (p yanlış, q yanlış), bu bileşik önerme yanlıştır.

Sonuç olarak; “Ya da / veya” bağlacıyla kurulan bileşik önermeler, sadece her iki önerme de yanlış olduğunda yanlış olur.

Önermelerin denklikleri 

Birbirinden farklı görünen önermeler, yapısal olarak karmaşıklaştıkça, matematiksel açıdan eşdeğer olup olmadıkları önem kazanır. Bu durumda, iki önermenin aynı mantıksal anlama gelip gelmediğini belirlemek için, 'mantıksal eşdeğerlik/ denklik' kavramı tanımlanabilir.

Tanım: Her olası durumda aynı doğruluk değerine sahip olan önermelere denk önermeler denir. 

Yani, hangi durum olursa olsun iki önerme de ya birlikte doğru ya da birlikte yanlış olur.Bu tür önermeler mantıksal olarak eşdeğerdir ve şu şekilde gösterilir.

                p ≡ q

Bu ifade, “p ile q denk önermelerdir” anlamına gelir.

‘Ve’ ve ‘Ya Da’ Bağlaçlarının Değili (Olumsuzu)

Ve Bağlacının Değili

Bir ‘ve’ bileşik önermesinin değili, bu önermeyi oluşturan her bir  önermenin değillerinin ‘veya’ bağlacıyla birleştirilmiş hâline denktir. Bu, De Morgan kuralları olarak bilinen kurallardan biridir.

   ( p∧q)’ ≡ p’ ⋁ q’

    (p⋁q)’ ≡ p’ ∧ q’

dur.Yani p ve q’nun değili, p’nin değili veya q’nun değiline denktir. Benzer şekilde  veya q’nun değili, p’nin değili ve q’nun değiline denktir.

Bir örnekle daha açıklığa kavuşturalım. “Can uzun boyludur ve koyu saçlıdır.” önermesi in değili “Can uzun boylu değildir ve koyu saçlı değildir” olacaktır.