NASIL KANIT YAPILIR ?

KANIT NEDİR

MATEMATİK İNANILMAZ BİR DİLE BENZER. Gerçek bir matematiksel kanıtla belirlenir ve doğrulanır dolayısıyla başkasının sözüne ya da düşüncesine güvenmek zorunda olmadığımız ve yüksek otorite tarafından belirlenmeyen veya eski gizemli bir gelenekten dolayı süre gelmiş hikayeleri benzemeyen bir gerçekliktir.

Bir kanıt bir önermenin ya da teoremin niçin doğru olduğunun bir açıklamasıdır. Daha da doğrusu,kanıt bir önermenin niçin doğru olduğunun ikna edici bir açıklamasıdır. Önermeler genellikle bazı basit önermelerle başlayıp ve basit mantık adımları kullanarak tanımları,aksiyonları ve önceden bilinen önermeleri sonuçlanıncaya dek uygulayarak kanıtlanır. Bir matematikçinin Kanıt anlayışı günlük kullanılışından farklıdır, örneğin  mahkemede kanıt, doğru olması muhtemel bir şeyin delilidir. Fakat matematikçiler bundan daha fazlasını ister. Bir önermenin kanıtlanmış olduğundan %100 emin olmayı arzu ederiz. ‘Hemen hemen kesin’ olmayı sevmeyiz. 

Kanıt matematiğin merkezinde yer alır.Kanıtsız matematik düşünülemez, çünkü gücünü yitirir. Bu aşamada bir kanıta nasıl yaklaşmanız gerektiğini göstereceğiz ve onu denetlenebilir ve anlaşılabilir parçalara ayırarak analiz edeceğiz. Bir teoremin niçin doğru olduğu ile ilgili önemli ipuçları ve yararlı uyarılar kanıtın en son yazılan versiyonunda genelde yer almazlar. İnşaatları silinir ve ne yazık ki onları yeniden oluşturmak  okuyuculara bağlıdır. 

İşte önermeleri kanıtlayarak bir önermeyi bir diğerinin üstünde olacak şekilde matematiği inşa edebilirsiniz. Bu da emin olmamıza ve ilerlememize olanak sağlar ve matematikçilere gerçek güç verir.Bunların ışığında bir teoremin kanıtlanışına bakalım.

Basit bir teorem ve kanıtı 

Teorem: m ve n doğal sayılar olsun. mn çarpımı tektir ancak ve ancak m ve n tektir.

Kanıt: mn nin tek olduğunu varsayalım. O zaman,tanımdan m ve  n tek olduğundan, bazı k ve t doğal sayıları için m = 2k + 1 ve n = 2t +1 alalım. O zaman mn=(2k + 1).(2t+1) dir.⇒O halde mn=2(2kt+ k+t)+1 dir.

(2kt+ k+t)=p gibi bir doğal sayı olduğundan, mn=2p+1 elde edilir.Dolayısı ile mn çarpımı tektir.

Şimdi tersine bakalım. m ve n'den birinin çift olduğunu varsayalım. Genelliği bozmadan, m'nin çift olduğunu kabul edebiliriz, O halde bazı k doğal sayısı için m=2k olur. mn=(2k)n= 2kn  elde ederiz,yani mn çarpımı çift olur.Buradan mn tektir ancak ve ancak m ve n çift değilse sonucuna varılır.Yani mn çarpımının tek olmasının tek yolu m ve n'nin tek olmasıdır. Dolayısıyla buradan mn tektir ancak ve ancak  m ve n nin tek olmasını gerektirir.

Bir kanıt nasıl okunur?

Okuma tekniklerini uygulayın 

Daha önce verilmiş olan okuma tekniklerini uygulayın: Bir genel bakış kazanmak için göz gezdirin, önemli olanı saptayın, sorular sorun vs. Okuma yaparken amaç kanıtın tamamının dayandığı parçayı bulmak olmalıdır.

Parçalara ayırın 

Kanıtı mantıksal bağımsız kesitlere bölün.Kanıtlar genelde akıcı uzun bir akıl yürütme değildir, incelenmesi gereken bir takım ayrı akıl yürütmelerdir , yani hesaplamalar, önermelerin doğrulanması vs. adımlar içerir. Bunu tespit etmenin bir başka yolu da şudur: Teoremin ifadesinde bir ‘eğer ve ancak eğer’ geçiyorsa kanıt ‘eğer’ kısmı ve ‘ancak eğer’ kısmı olarak ikiye parçalanabilir.

“m ve n doğal sayılar olsun. mn çarpımı tektir ancak ve ancak m ve n tektir.”

teoreminde  ‘m ve n tektir ⇒ mn tektir’

                ile 

‘mn tektir. ⇒ m ve n tektir’

aynıdır.

Kullanılan yöntemleri tanıyın 

Matematikçiler bir takım kanıt yöntemlerine sahiptir: örneğin doğrudan,olmayana ergi,tümevarım,çelişkiyle ispatlama  gibi kanıt teknikleri vardır. Teoremi okuyarak hangisini kullanmanın daha uygun olduğunu saptayın ve gerekirse kanıt yöntemlerinin bir kombinasyonunu oluşturun.Örneğin; ‘m ve n tektir ⇒ mn tek’ kısmı doğrudan ispatlanabilir.İspatın diğer bir yönü ise ‘Eğer mn tek ise, o zaman m ve n tektir’ olacaktır.Şüphesiz,bunu doğrudan bir yöntemle ispatlayamayacağımız açıktır.Dolayısıyla burada, mn bin tek olduğunu kabul ederek başlamalıyız ve   m ve n nin tek olduğunu göstermek için, herhangi bir gerektirmeyi ele alamayacağımız için, bunun yerine m ve n den birinin çift olduğunu kabul ederek ( yani ‘m ve n tektir' in değillemesini alarak) böylece mn çarpımı çift bulunur ve buradan m ve n’ nin çift  olamayacağı sonucuna varırız.

Varsayımların kullanıldığı yerleri bulun 

Varsayımların nerede kullanıldığını belirleyin. Kanıtımızda m ve n doğal sayılarının tek olduğu varsayımı (önermenin eğer kısmındaki varsayım) çok sayıda kullanılır.

Kanıtı bir örneğe uygulayın 

Bir kanıtı anlamanın çok etkili bir yöntemi, her bir adımı, varsayımları sağlayan bir özel ya da somut durumu uygulamaktır. Bir önceki örnekte de olduğu gibi bu çok aşikardır, ancak deneyelim. m = 3 ve n = 7 varsayalım ve bu şekilleri kullanarak kanınızın yeniden yazalım.

m.n=3.7=21 ⇒Tek / Doğru

‘Ancak eğer’ kısmı için m nin çift olduğunu varsaymalısınız o yüzden m’ye  6 diyelim.

m.n=6.7=42⇒Çift / YANLIŞ 

Bir şekil çizin 

Duruma ve koşulları uygun bir şekil çizin. Fakat çizdiğiniz şekil sizi ikna etmeli ve doğru olmalı.Ayrıca  son derece dikkatli bir şekilde çizmelisiniz yoksa çizdiğimiz şekil  aşırı derecede yanıltıcı olabilir.

Soyut bir problemi görsel hâle getirmek daha anlaşılır kılar. Özellikle geometrik ispatlarda, doğru, açı ve üçgen ilişkileri görselleştirildiğinde ispat süreci kolaylaşır.Bazen bir önermenin doğru olup olmadığını test etmek için çizimden yola çıkarak örnek üzerinde düşünmek işe yarar. Özellikle çelişkiyle ispatlarda bu teknik çok etkilidir.Bazen ise şekil, ispat için nasıl bir yol izleyeceğinizi belirlemenize yardımcı olur. Nereden başlanmalı, hangi yardımcı çizgiler eklenmeli gibi stratejik kararlar şekil üzerinde daha kolay verilir.

Önermedeki bilgileri şekle aktararak örneğin, “Üçgen ABC’de AB = AC” deniyorsa, eşkenar gibi çizmek yerine netçe AB ve AC’nin eşit olduğu ama diğer kenarın farklı olduğu bir üçgen çizmek ispat yapmanıza yardımcı olabilir.

Metin'in doğruluğunu kontrol edin 

Bir kez daha aktif olmanın zamanı! Kullanılan teoremlerin uygulandığını memesini doğru olduğunu kontrol edin. Yani örneğin eğer bir kanıt bir doğrudan hesaplama gösteriyorsa o hesaplamayı yapın. Örneğimizde mn=2(2kt+ k+t)+1 olduğu direkt açık değildir ve bu nedenle ayrıntılı çalışmalısınız: 

m = 2k + 1 ve n = 2t +1 alalım. O zaman

mn=(2k + 1).(2t+1) dir.⇒

mn=4kt+2k+2t+1

O halde mn=2(2kt+ k+t)+1 dir.

Bu şekilde doğruluğunu kontrol edin. 

Hataları arayın 

Her şeyden kuşku duyun ve metnin hatalı olduğunu göstermeye çalışın. Gizli varsayımları arayın ve kullanılan teoremlerin gerçekten uygulandığını kontrol edin. Hatta uç durumları arayın. Mesela, a,b, c, ve d'nin doğal sayılar olduğunu varsayalım. Eğer ab=cd ve a=c ise,o zaman b=c dir.

Kanıt: ab=cd ⇔ab=ad dir,çünkü a=c dir.

                      ⇔b=d ‘ dir.(Sadeleştirme ile)

Bu Kanıt ikna edici görülebilir fakat problem a=c=0 durumunu incelediğimizde ortaya çıkar. b ve d'nin ne olduğunun önemi olmaksızın, ab= cd den, b=4  ve c=3 alırsak 0.4=0.3 elde edilir, fakat 4≠3 tür. Bu bir önermenin doğruluğunun 3 durumlar için kontrol edilmesini ne kadar önemli olduğunu gösterir. 

Aynı akıl yürütmeyi kümelere de uygulayabiliriz.A×B ve C×D ve A=C nin B=D yi gerektirdiğini göstermek kolaydır. Burada ise,(bu durumda sıfır benzeri olan) A'nın boş küme olmadığını varsaymamız gerekir.

Bir örnek dışına uygulayın 

Örnek dışı olan bir probleme uygulayın,böylece genellemenin nerede başarısız olduğunu kesin olarak belirleyebilirsiniz.

Bir teoremi ezberlemek kolaydır; fakat onu anlamak, içselleştirmek ve gerektiğinde ispatlayabilmek çok daha derin bir kavrayış gerektirir. Bu nedenle, yalnızca teoremi geçerli olduğu örnekler üzerinde çalışmak yetmez. Asıl derin öğrenme, teoremin geçerli olmadığı durumları da incelemekle başlar.

Bu yöntem, “örnek dışına uygulama” olarak bilinir: yani teoremi, geçerli olmadığı bir duruma uygulamaya çalışmak. Bu, bize hem teoremin sınırlarını hem de neden o sınırların var olduğunu gösterir.

Örnek: Pisagor Teoremi

Teorem:Bir dik üçgende, hipotenüsün karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamına eşittir: “a² + b² = c² “ (c:hipotenüs)

Şimdi bu teoremi örnek dışına uygulayalım:

Bu teoremi dik olmayan bir üçgene uygulamaya çalışalım. Örneğin, açıları 60°, 60°, 60° olan bir eşkenar üçgen düşünelim. Tüm kenarları 6 birim olsun.Pisagor teoremi uygularsak:

a² + b² = 6² + 6² = 72

elde edilir.

Fakat c² = 6² = 36.

İyi düşünme 

Her zamanki gibi ileriye dönük düşünün.Kanıt daha önce gördüğünüze benziyor mu? Özellikle bazı Kanıt türlerinin tekrar tekrar geçtiğinin farkında olmak onları öğrenmenizi ve çalışmanızda kullanmanızı kolaylaştırır. 

Bir kanıt nasıl bellekte tutulur? 

Bir kanıtı anımsamanın en kolay yolu, onu anlamaktan geçer. Bir şey ezberleyerek ya da düşünmeden öğrenmek anımsamanın zor yoludur, bu yüzden her zaman mantığını  anlamaya çalışın. Bir kanıtın nasıl inşa edildiğini bilin, her paragrafın kilit noktasını bilin. Bir hesaplama mı yapılacak,esas varsayımın kullanıldığı yer orası mı, notasyon kullanılmalı mı, ne tipten bir kanıttır,hangi teknikleri kullanır, bu gibi soruları sorarak kanıtı iyi analiz edin.

En son birkaç cümle ile kanıtı özetlemeye çalışın ve ne dediği gibi değil, ne anlama geldiğini kaydetmeye çalışın.