TANIMLAR, TEOREMLER ve KANITLAR
Matematiksel fikirlerin güçlü bir mantık sistemiyle ifade edilmesi için bunun yanında evrensel bir dil oluşturmak,bilgileri geliştirmek ve üzerine yenilerini inşa etmek için bilimsel ve mantıklı bir sistem kurmak amacıyla tanımlara ve teoremlere ihtiyaç duyarız.
Tanımlar:Tanımlar, matematikte kullanılan kavramların ne anlama geldiğini kesin bir şekilde belirlemek için kullanılır. Örneğin:Nokta, doğru, küme, fonksiyon gibi kavramlar tanımlarla açıklanır.Dolayısıyla tanımlar, matematiksel dilin kesinlik ve tutarlılıkla kullanılmasını sağlar.
Önerme:Sezgilerimizin bizi götürdüğü kimi ifadeler oluştururuz. Örneğin bir noktadan sezgilerimize göre sonlu olmayan sayıda doğru geçebileceğini fark edip , bunu ifade haline getiririz. Bu aşamada ortaya bir önerme atmış sayılırız.Örneğin; "Bir noktadan sonlu olmayan sayıda doğru geçer."
Aksiyom kavramına bakış:Bir aksiyom bir matematiksel durum hakkında temel bir varsayımdır ve kanıtlanmasına gerek duyulmayan olgular olarak değerlendirilebilir. Matematiği bir oyuna benzetirsek , bu oyunun kuralları ve bölümlerinin nasıl dizayn edildiği bilgisi tıpkı bizim sezgilerimizle ortaya çıkardığımız önermelerde olacağı gibi , kimilerinin aslında referans noktasında kalması gerektiğini gösterir. Yani ortaya attığımız ifadenin doğru yada yanlış olarak kategorize edilmesi için gerekli bir veri yoktur , böylece bu ifade aslında yaptığımız matematiğin referans noktası olmuş olur. İşte bu tür önermelere de aksiyom denir. Aksiyomlar , kanıtlanamayan önerme demek değildir , referans belirleyen önerme demektir.
Teorem kavramına bakış: Matematiği oyuna benzetmeye devam edelim. Elimizde oyunun kuralları ve oyundaki karşılaşacağımız şeylerin bilgisi var. Bilgiler ve oyunun kurallarını kullanarak adımlar atar , böylelikle işleyiş hakkında ortaya çıkan ifadeleri çözümleriz. Bunun analojimizdeki yeri ise şudur: Bir teorem , aksiyomlar , tanımlar ve diğer önermelerden hareketle doğruluğu ya da yanlışlığı kanıtlanabilir önermelerdir. Aksiyomlar ve tanımlar yordamıyla , tıpkı birbirine bitişik tuğlalar dizer gibi daha fazla yorumda bulunmamızı sağlayacak teoremleri kanıtlayabilir ya da çürütebiliriz.
Lemmalar: Bir lemma, bir diğer önermeyi kanıtlama yolu üzerinde bir adım olan bir önermedir.Lemmaların ilginç yanı ise,bir teoremin kanıtı için kullanıldıkları önermeden çok daha yararlı olmalarıdır.
Kanıtlar:
Kanıt çözümlerimizin doğru olduğunun güvencesidir,bir önermenin niçin doğru olduğunun açıklamasıdır.
Yani kısaca özetlemek gerekirse;
Tanımlar→ Kavramı netleştirir.
Teoremler→ O kavramlar arasında bağlantı kurmamızı ve kanıtlayarak doğrulamamızı sağlar.
Bir Tanıma Nasıl Yaklaşmalıyız?
Bir matematiksel tanımın bir kavramın anlamını kesin bir biçimde verdiğini daha önce ifade etmiştik.Tanım yapmanın temel amacı, ifade etmekte olduğumuz kavramı herkesin bilmesidir. Yani tanım okurun farklı düşünmesine yol açmayacak şekilde apaçık açık olması gerekir. Bir tanım vermenin esas matematiksel nedeni ise çalışmaya değer bazı ilginç kavramlara kimlik kazandırmaktır. Ayrıca matematikçiler için bilimsel çalışma yaparken kavramları ortak evrensel bir dilde tanımları kullanarak çalışmak çok daha kolaydır. Matematik çalışırken tanımları tam olarak anımsayabilmeniz son derece önemlidir,ya tüm uygun koşullara sahip olmalısınız ya da başka bir şey tanımlamalısınız ki ilerleyebilesiniz. Diğer bir önemli nokta ise ,özellikle öğrenciler arasında görülen en yaygın sorunlardan bir tanesi sözcüğün tanımını bilmedikleri için bazı problemlerde ilerleyemeyişleridir. Bu da öğrencilerin matematiği ‘kavramları anlamak’tan çok bir “işlemi uygulama” olarak gördüklerine bir örnektir.
Bir tanımı okurken nasıl bir yol izlemeliyiz?
Matematikte her kelimenin, hatta her sembolün çok özel bir anlamı vardır.Bir tanımı okuduğunuzda tanımın neyi ifade ettiğini anlamak için daha önce bildiğiniz bir kavramla ilişki kurmaya çalışın. Tanımın içinde geçen kelimeleri dikkatle inceleyin; özellikle "her", "en az", "yalnızca", "varsa" ,”sadece”, “eğer”, “ancak” gibi mantıksal bağlaçlar tanımın yönünü belirler.Örneğin
“Bir asal sayı, sadece 1 ve kendisine bölünebilen pozitif tam sayıdır.”
Buradaki "sadece" kelimesi, asal sayının başka hiçbir böleni olmadığını ifade eder ve çok kritiktir.
Genellikle tanımlar "koşul" ve "sonuç" ilişkisi içerir. “Eğer bir nesne şu özelliklere sahipse → Bu nesne şu şekilde tanımlanır. “ şeklinde şart ve sonuç ilişkisiyle verilebilir.Örneğin “Bir fonksiyon, her girdiye yalnızca bir çıktının karşılık geldiği bir ilişkidir.”
Eğer her x’e tek bir y denk geliyorsa → Bu ilişki ya da bağıntı bir fonksiyondur.
Tanımı sadece okumakla kalmayın — örnekler verin. Bu örnekler arasından özellikleri açıkça sergileyen ve daha önemlisi tanıma anımsamamıza yardım eden bazı standart örnekler seçmeliyiz. Bu tanıma uyan ve uymayan örnekleri zihninizde canlandırın. Bir kavramın sınırlarını en iyi, ona uygun örnek ve karşı örnek vererek anlayabilirsiniz.Daha sonra aşikar örnekler bulun. Aşikar örnekler bir tanım için bilincinizi geliştirmede yardımcı; teoremleri ve kanıtları incelerken değerli olabilirler. Tanımı daha iyi anlamak için en az bir doğru örnek, bir de yanlış örnek (karşı örnek) bulmanız tanımı daha iyi kavramanına yardımcı olabilir. Örneğin matrisleri çalışırken karşılaşabileceğiniz bir tanım “Transpozu kendisine eşit olan matrislere simetrik matrisler denir.” Bu tanımı daha iyi anlayabilmek adına bir simetrik,bir de simetrik olmayan matris örneği inceleyip arada farkı tespit etmek daha iyi anlamanıza yardımcı olacaktır.
Tanımın nerede kullanıldığını, ne işe yaradığını, hangi problemleri çözmek için ortaya konduğunu,nerelerde karşınıza çıkacağını anlamaya çalışın.Örneğin “Grup” tanımı soyut cebirde çok temel bir yapıdır ve bu tanım sayıların dışında kalan yapıların da cebirsel özelliklerini incelememizi sağlamaktır.
Ve en önemlisi, tanımı ezberlemeye değil, anlamaya odaklanın.Bildiğiniz gibi tanımlar, sadece kelimelerden ibaret değildir; her biri, bir kavramın özünü yakalayan mantıksal bir yapıda oluşturulmuştur. Bir tanımın arkasında, belirli bir problemi çözme amacı, bir kavramı diğerlerinden ayırma gereği,bir kavramla ilgili tüm teoremlerin, kanıtların ve problemlerin zeminini oluşturma ya da daha geniş bir yapının temelini oluşturma isteği yatar.Matematikte derinleşmek ve öğrendiğini kullanabilir hale gelmek için kavramları içselleştirmek uzun vadede tanımı anladığınızda, sadece bir tek tanımı değil, o tanıma dayalı birçok konuyu da otomatik olarak kavramaya başlamanızı sağlayacaktır.
En önemlisi unutmayalım ki matematik, yalnızca hesap yapmak ya da formülleri bilmek değildir. Matematik, anlamak üzerine kurulu bir dildir. Bu dili konuşabilmenin ilk adımı ise tanımları sadece öğrenmek değil, onları neden öyle olduklarıyla birlikte kavramak,özümsemek ve içselleştirmektir, bütünsel bir şekilde matematikle bir bütün vücut haline gelmektir.
Bu anlayış, sizi yalnızca başarılı bir öğrenci değil, güçlü bir düşünür yapacaktır.
Özetle;
Tanımın içinde geçen her kelimenin anlamını netleştirin.Her kavramı anladığınızdan ve tanımı neyi ifade ettiğinden emin olun.
Şartlar ile sonuçları ayırın,verilen koşulları netleştirin.Bir nesnenin tanıma uyması için hangi özellikleri taşıması gerektiğini belirleyin.
En az bir örnek ve bir karşı örnek düşünün. Tanımın sınırlamalarını görmeniz açısından bu çok önemlidir.Tanımın neden bu şekilde yapıldığını araştırın. Alternatif tanımlar var mı? Bu haliyle ne kolaylık sağlıyor?
Kavramları ezberlemeyin,içselleştirin.
Bir teorem nasıl okunur
Teoremler ve kanıtlar matematiğin merkezindedir. Bu aşamada yeni bir teoremi nasıl ele alındığını ve kanıtların değerlendirilmesini açıklığa kavuşturacağız.
Öğrenciler genellikle matematiği, bir çarpma işlemini ya da bir ikinci dereceden denklemi çözmek gibi, sadece belirli işlem adımlarının uygulandığı bir problem çözme süreci olarak algılarlar. Yüksek düzey matematik ise bunun biraz daha ilerisine gidip, yöntemler veya algoritmalardan ziyade önermeler ve teoremler önem kazanır. Bunun bir sonucu olarak öğrenciler bir şeyleri nasıl yapıldığını teoremlerin onlara söylediğini sanarlar ve dolayısıyla gerçekte teoremin ne söylediğini yakalayamazlar.
Teoremlerin Analizi
Varsayımları ve sonuçları bulun:
Gerektirmeler ve teoremler genelde
“Varsayımların bir kolleksiyonu bir sonucu gerektirir.”
biçiminde yazılabilir.Bu demektir ki “Teoremler genellikle, bazı başlangıç koşullarının belli bir sonucu doğurduğu ifadelerden oluşur.” ve bir teorem, belirli şartlar sağlandığında bir sonucun mutlaka ortaya çıktığını söyler.Daha basitçe ‘Eğer şu koşullar varsa, o zaman şu sonuç doğar’ şeklinde kurulur,yani
“Eğer……. ise o zaman……..dır”
biçimindedir. Yani bir teoremde her zaman şu iki temel bileşen vardır:
1. Varsayımlar (Öncüller):Teoremin geçerli olabilmesi için sağlanması gereken koşullardır. Bunlar, genellikle tanımlardan, önceki teoremlerden ya da aksiyomlardan elde edilir.
Örnek: "A bir pozitif reel sayıysa..."
2. Sonuç (Çıkarım):Varsayımlar doğru kabul edildiğinde, mantıksal olarak elde edilen kesin bilgidir.Örnek: "... o zaman A’nın karekökü de pozitiftir.”
Başka bir örnekle açıklayalım:
‘m ve n doğal ve tek sayıdır’ varsayım
‘m.n bir tek sayıdır’ sonuçtur.
Bir teoremle çalışırken ilk amacımız da işte bu varsayımların ne olduğunu ve doğurduğu sonucun ne olduğunu belirlemektir.
Teoremin nasıl kullanıldığını sınıflandırın:
Elbette ki her teorem aynı amaca hizmet etmez. Bazıları hesap yapmayı kolaylaştırırken, bazıları sınıflandırma yapar.
Gerçekte bir teorem bize ne söyler? Hesaplamamıza mı izin verir, sınıflandırır mı (Yani bir şeyin ne olduğunu bize söyler mi)?Bu yüzden teoremin hangi amaca yönelik olduğunu anlamak teoremi anlamanızı ve daha kolay kavramanızı etkileyecektir? Bazı teoremler bir sonucu doğrudan sayısal olarak bulmamıza olanak tanır.Örneğin, Pisagor Teoremi ile bir üçgenin kenar uzunluğu hesaplanabilir.
Bazı teoremler ise,bir nesnenin belirli özellikleri varsa, onun hangi gruba ait olduğunu söyler.Örneğin,"Determinantı sıfır olan matrisler terslenemez" teoremi, bir matrisi sınıflandırır.Bir başka teorem ise belirli koşullarda, belirli matematiksel yapıların var olduğunu gösterebilir.Örneğin “Her sonlu grup bir permütasyon grubuna izomorftur.”
Kendinize şu soruyu sorun: Bu teorem bana neyi veriyor?
Bir şekil çizin:
Teoremi anlamanın en etkili yollarından biri görselleştirmektir. Özellikle geometri, analiz ve cebir gibi alanlarda tanım veya teoremi bir şekil üzerinde düşünmek soyut kavramları somutlaştırır.Hatta bir problem çözerken problemi görselleştirmek problemin çözümüne gitmenize yardımcı olabilir.
Verdiğiniz Aşikar Örnekleri ve Diğer Uç Durumları Uygulayın
Teoremin klasik ve “beklenen” örneklerini inceleyin.
Ardından, sınır durumlar veya “uç örnekler” düşünün:
Varsayımlar eksikse ne olur?
Sadece biri sağlanmazsa sonuç hâlâ geçerli mi?
Bu tür sınama, teoremin sınırlarını ve gücünü anlamanıza yardım eder.
Tersi Doğru mudur, Tespit Edin
Teoremin tersi her zaman doğru olmayabilir. Bu yüzden şu soruyu sorun:
> “Sonuç doğruysa, varsayımlar da geçerli mi?”
Eğer tersi her zaman doğruysa, bu teorem aslında bir iki yönlü önermedir (gerek ve yeter koşul içerir).
Örnek:
Teorem: “Bir sayı çiftse, karesi de çifttir.”
Tersi: “Bir sayının karesi çiftse, kendisi de çifttir.” → Doğru!
Bu durumda teorem ve tersi birlikte bir eşitlik oluşturur.
Sembollerle ya da Sözcüklerle Matematiksel Olarak İfade Edin
Sözcüklerle yazılıp teoremi anlamanın en iyi yolu onu sembollerle yeniden yazmaktır ve tersi için de bu doğrudur.Teoremi hem sözcüklerle hem de matematiksel sembollerle ifade etmek kavramları pekiştirmenize ve matematiksel olarak anlamanızı kolaylaştırmaya yardımcı olacaktır.
Özetle:
Teoremi analiz edin ve sınıflandırın.
Bir şekil çizin.
Verdiğiniz aşikar örneklere ve diğer uç durumlara uygulayın.
Tersi doğru mudur,tespit edin.
Sembollerle ya da sözcüklerle matematiksel olarak ifade edin.
Genelleştirin.
Yorumlar
Yorum Gönder